Un atelier de l'Université Conventionnelle animé par Mathieu Gibier


Je présenterai dans ce dernier cours les notions fondamentales du calcul différentiel proprement dit. Nous verrons comment définir une dérivée, et pourquoi il ne faut pas confondre la dérivation avec la différentiation d'une fonction.
Ces éléments nous permettront de comprendre une belle généralisation de Leibniz concernant les tangentes à toute une série de courbes dont l'ellipse n'est qu'un cas particulier.



Le plan projeté est le suivant :

I. La notion de dérivée.
1°/ Ses deux définitions équivalentes (selon Lagrange ou selon d'Alembert).
2°/ Son rapport avec le coefficient directeur de la tangente.
3°/ Ne pas confondre les notions de dérivée, de dérivée partielle, et de différentielle.

II. Eléments du calcul des différentielles.
1°/ Différentiation des trois premiers couples algébriques.
2°/ Règles pour la différentiation successive d'une même fonction.
3°/ Comment différentier une fonction de plusieurs variables indépendantes ?

III. Application géométrique, où l'on voit la puissance du nouveau calcul.
1°/ La théorie des tangentes en coordonnées polaires.
2°/ Nouvelle démonstration du théorème sur la tangente à l'ellipse ; sa généralisation à toute une famille de courbes, et même de surfaces, d'après la Nova Methodus de Leibniz.


Nous reviendrons une dernière fois sur la méthode de Descartes pour qu'elle nous révèle encore quelques belles propriétés de l'ellipse. Cela permettra d'en arriver ensuite à la notion de dérivée, porte d'entrée dans le calcul infinitésimal (sur le seuil duquel il est bon de savoir s'attarder).


Plan du cours :

  1. La propriété « optique » de la tangente à l’ellipse (fin de la leçon précédente).
1°/ Démonstration du théorème d’égale inclinaison.
2°/ Le même théorème sous une seconde forme, et la construction de la tangente qui en découle.
3°/ Comment construire la tangente à l’ellipse en partant de la définition d’Euclide.
  1. Méthode générale pour calculer le coefficient directeur de la tangente à une courbe quelconque
1°/ Etablissement de la méthode par induction à partir des exemples déjà étudiés.
2°/ Généralisation de cette méthode et introduction de la notion de dérivée.
3°/ Une seconde manière, encore plus générale, de ramener la tangente au calcul de la dérivée.
4°/ Comment faire quand l’équation de la courbe comporte des radicaux ou des fractions ?
  1. Solution générale des autres problèmes concernant la tangente (programmatique).
1°/ Construire une tangente à une courbe parallèle à une droite donnée.
2°/ Construire une tangente à une courbe passant par un point extérieur donné.
3°/ Trouver la relation constante entre le coefficient angulaire et le coefficient linéaire de toute droite tangente à une courbe donnée. – Mener une tangente commune à deux courbes données.
4°/ Condition analytique du contact entre deux courbes données.
 

Exercice d'application de la méthode de Descartes : la tangente à la "parabole cartésienne", courbe du troisième degré dont la construction est donnée au livre II de la Géométrie.

1°/ Mise en équation de la courbe (voir la figure sur la p.415 dans la pièce jointe).

        Soit la parabole KC glissant le long de la règle KA, qui correspond à son axe. Soit GL une règle passant par L et pouvant tourner autour du point G. Cette règle rencontre la parabole en un point C qui se déplace quand un fait glisser la parabole le long de l’axe. Il s’agit de déterminer la ligne CE décrite par cette intersection mobile C.
        On note AB = x, BC = y les coordonnées d’un point quelconque C de la courbe CE cherchée. On note de plus GA = b, KL = c. Puisque la courbe KC est une parabole, la relation entre BC et BK est de la forme : BC² = d.BK, en notant d le "côté droit" de la parabole (c'est-à-dire que Y²=d.X est l'équation de la parabole). On a de même NL² = d.KL = c.d.
        Prouvez que, suivant cette notation, l'équation de la courbe cherchée est la suivante :
                             y³ – by² – cdy + dxy + bcd = 0.
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2°/ Intersection de cette courbe avec un cercle.

        On cherche l’intersection de la parabole cartésienne avec le cercle d’équation x = √ (s² - v² + 2vy – y²), où s correspond au rayon noté CP sur la figure v à la longueur AP qui fixe la position du centre.
        Trouvez l'équation ayant pour racines les ordonnées des points d'intersection cherchés.

3°/ Application de la méthode des racines doubles.
       Si deux points d'intersection se confondent, l'équation précédente doit comporter une racine double. Trouvez quelle doit être sa forme, en notant e la racine double, et f, g, h, i les quatre constantes indéterminées qu'il est nécessaire d'introduire.
En égalant terme à terme les coefficients des deux équations équivalentes, trouvez l'expression de v en fonction de y.

Vous trouverez en pièce jointe la correction complète. Un conseil : repérez d'abord, à chaque étape du corrigé, l'équation à laquelle vous devez aboutir, et cherchez à la calculer par vous-même. Les étapes du calcul dans le corrigé ne sont utiles que si vous l'avez déjà fait par vous-même, pour rectifier d'éventuelles erreurs.

Présentation de l'atelier

Le cours aura lieu comme d'habitude au lycée Dorian, de 19h30 à 21h30.


Annonce pour le cours du jeudi 24 janvier.

Nous avons commencé, lors de la séance précédente, à étudier la définition et les propriétés de l'ellipse, afin d'appliquer à cette courbe la méthode de Descartes permettant d'obtenir les tangentes (exposée au livre 2 de la Géométrie).

A cette occasion, plusieurs questions ont été soulevées : comment passe-t-on de la définition antique de l'ellipse comme section d'un cône à la définition par laquelle Descartes l'introduit dans la Dioptrique, selon la "méthode du jardinier" ? Le cercle peut être envisagé comme un cas-limite de l'ellipse, lorsque ses deux foyers se confondent : peut-on de la même façon concevoir la parabole comme un cas-limite de l'ellipse, lorsqu'un foyer s'éloigne de l'autre à l'infini ?

I. Dans un premier temps, je montrerai comment résoudre ces deux problèmes et achéverai de déterminer la tangente en un point quelconque de cette courbe selon la méthode de Descartes.

1°/ De l'ellipse comme section conique à sa propriété focale.
2°/ De l'ellipse à la parabole par passage à la limite.
3°/ Détermination de la formule exprimant la pente de la tangente en un point quelconque de l'ellipse.

Dans la première pièce-jointe ci-dessous, vous retrouverez les pages de la Géométrie de Descartes qui ont déjà été étudiées de ce point de vue. La première équation encadrée en rouge (1) est celle d'un cercle ayant son centre sur l'axe des y, à une distance v de l'origine du repère, la grandeur de son rayon étant notée s. L'équation (2) est celle de l'ellipse, dans un repère où le grand axe correspondrait à l'axe des y et où l'origine se trouverait à l'extrémité droite de ce grand axe (les coordonnées en y étant donc horizontales, et en plus comptées de droite à gauche, à l'inverse de notre habitude). Dans cette équation, la lettre r correspond à ce que les anciens appellent le côté droit (latus rectus). Si l'on note a le demi grand axe et b le demi petit axe, il est égal à 2b²/a. Enfin, la lettre q est la longueur du grand axe, autrement dit q = 2a. Enfin, l'équation (3) résulte des deux précédentes : elle détermine donc les points d'intersection du cercle et de l'ellipse.
Pour bien lire ces équations, remarquez que Descartes note l'égalité au moyen d'un signe torsadé au lieu du caractère habituel, et que, dans la dernière équation, il écrit "égal à rien" au lieu de "=0".
descartes_ellipse_1.jpg Descartes ellipse 1.jpg  (306.82 Ko)

La seconde pièce-jointe contient les pages de la Géométrie qui achèvent le calcul précédent. Repartant de l'équation (3) ci-dessus, Descartes pose que cette équation doit avoir une racine double pour que le cercle soit tangent à l'ellipse. C'est-à-dire que son membre de gauche doit être de la forme (y - e)², e correspondant à la racine double (voir la deuxième expression encadrée en rouge dans la pièce jointe). En identifiant alors terme à terme les deux expression ainsi obtenues d'un même polynome, on obtient la valeur de v en fonction de y, qui détermine la position du centre du cercle cherché (voir la dernière égalité encadrée dans la seconde pièce jointe). Nous verrons qu'il est facile de retrouver à partir de là la formule pour le coefficient directeur de la tangente. 
descartes_ellipse_2.jpg Descartes ellipse 2.jpg  (334.61 Ko)

La suite du cours portera sur les points suivants :

II. Propriétés remarquables de l'ellipse liées à sa tangente.
1°/ Une Première Propriété analogue à celle du cercle.
2°/ Le théorème des cordes supplémentaires.

III. La Propriété "optique" de la tangente à l'ellipse.
1°/ Démonstration du théorème d'égale inclinaison  : sa signification optique.
2°/ Le même théorème sous une seconde forme, et la construction de la tangente qui en découle.
3°/ Comment construire la tangente à l'ellipse en partant de la définition d'Euclide.

IV. S'il reste du temps, nous aborderons l'exemple suivant étudié par Descartes, celui de la "parabole cubique" (voir la ligne CE sur la figure de la p.415, dans la première pièce jointe), pour montrer que sa méthode de détermination des tangentes ne se limite pas aux courbes du second degré.


L'intégralité du cours se trouve dans la pièce jointe. Elle devrait permettre à ceux qui ont manqué les premiers cours de ne pas être perdus s'ils assistent aux suivants, et aux autres de reprendre ce qui a été vu. En voici le plan.



I. La Tangente au cercle chez Euclide.

1°/ Difficultés liées à la définition de la tangente au cercle dans le livre III des Eléments.

2°/ Démonstration de la proposition III, 16.
a) Rappel sur quelques propositions importantes du livre I des Eléments.
b) La Démonstration de la proposition III, 16.

3°/ Réflexions sur "l'angle de contingence".

4°/ Remarques concernant la proposition III, 2.

II. La Définition générale de la tangente et son usage dans l'analyse.

1°/ La Tangente comme limite d'une sécante.

2°/ Son usage pour déterminer le coefficient directeur de la tangente : l'exemple de la parabole.

La séance aura lieu au lycée Dorian, de 19h30 à 21h30, le jeudi 13 décembre. L'entrée est libre et gratuite. Voici quelques exercices pour réviser, et préparer la leçon....


Exercices de révision du cours n°1 (29 /11)
 
1°/ Redémontrer que :
 
-Lorsqu’on prolonge un côté d’un triangle, l’angle extérieur est plus grand que les deux angles intérieurs opposés.
 
-Dans un triangle, un plus grand côté sous-tend un plus grand angle.
 
-Entre la perpendiculaire au rayon du cercle menée de son extrémité, et la circonférence du cercle, aucune autre droite ne peut être intercalée.
 
2°/ Retrouver l’équation du cercle dans un système de coordonnées rectilignes avec des axes perpendiculaires. En discutant cette équation, démontrer les propositions suivantes :
 
-Si deux cercles se coupent, leur centre n’est pas le même (Euclide, III, 5).
 
-Si deux cercles se touchent intérieurement, leur centre n’est pas le même (Euclide, III, 6).
 
Exercice de préparation du cours n°2 (13/12)
 
Pour montrer l’usage de sa méthode permettant de déterminer les normales à une courbe, Descartes prend l’ellipse comme premier exemple. Et il se sert d’un théorème d’Apollonius de Perge afin d’obtenir ce qu’on appellerait maintenant une équation de l’ellipse (dans un système de coordonnées rectilignes à axes verticaux). Pour comprendre sa méthode, il faudra donc commencer par établir et discuter cette équation, ce qui nous permettra de retrouver les propriétés fondamentales de l’ellipse.
 
1°/
On part de la définition de l’ellipse comme l’ensemble des points (dans un plan) ayant la propriété suivante : étant donné deux points fixes (qu’on appelle foyers pour une raison qui apparaîtra plus tard), la somme des distances de chaque point de l’ellipse à ces deux points fixes est constante. 
Plaçons-nous dans un système de coordonnées rectilignes à axes perpendiculaires dont l’origine est au centre de l’ellipse. Notons k la longueur du grand axe de l’ellipse et d la distance entre un foyer et le centre (ou bien, cela revient au même, la demi-distance entre les foyers). Montrer que l’équation de l’ellipse dans un tel système est :
 

Travaux pour la séance du 13/12/12

En enlevant les radicaux, montrer que l’équation peut s’écrire ainsi :
 
(4d2 – k2) x2 – k2 y2 = d2 k2 – k2/4
 
On note a = k/2 la longueur du demi grand axe et b la longueur du demi petit axe de l’ellipse. Montrer que b2 = k- 4d2.
 
En déduire que l’équation de l’ellipse peut aussi s’écrire :
 
x2/a2 + y2/b2 = 1  ou encore b2 x2 + a2 y2 = a2 b2
 
En déduire que les axes des ordonnées sont des axes de symétrie de l’ellipse, et que le cercle est un cas particulier de l’ellipse. Retrouver la forme globale de cette courbe en discutant son équation.
 
2°/
 
Remarquer que, si l’on déplace l’origine des axes des coordonnées, du centre à l’extrémité droite du grand axe de l’ellipse, et qu’on compte les abscisses à rebours (de droite à gauche), il faut remplacer x par (a – x) dans l’équation précédente.
 
En déduire que l’équation de l’ellipse, lorsque l’origine des axes coïncide avec un de ses sommets, peut s’écrire :
 
y2 = rx – (r/2a) x2                                    où   on note  r = 2 b2/a
 
C’est sous cette forme que Descartes l’étudie pour trouver les normales à cette courbe, sauf qu’il intervertit les lettres x et y (voir la feuille distribuée au premier cours).
 
 
 
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